วันอาทิตย์ที่ 9 มิถุนายน พ.ศ. 2556

อินเวอร์ส(Inverse)


                                           อินเวอร์ (Inverse)


ความหมายอินเวอร์ (Inverse)

           อินเวอร์สของเมตริกซ์ในที่นี้  หมายถึงอินเวอร์สของการคูณของเมตริกซ์ ซึ่งเมตริกซ์ที่จะหาอินเวอร์สได้นั้นจะต้องมีค่ากำหนดไม่เท่ากับศูนย์ อินเวอร์สของเมตริกซ์ A จะใช้สัญญาลักษณ์ A-1 ทั้งนี้ A A-1= A-1A

          ถ้า a เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ a # 0 แล้ว จะมีจำนวนจริงซึ่งทำให้


                                                                     ak = ka = 1

              เราจะเรียก k ว่าเป็นอินเวอร์สการคูณของ a และเขียน k แทนด้วย a-1 และเพราะว่า a.1 = 1.a = a ทุก ๆ ค่า a เราเรียก 1 ว่าเป็น เอกลักษณการคูณของจำนวนจริง

ในเรื่องของเมตริกซ์ก็เช่นเดียวกัน ถ้า A เป็นเมตริกซ์ที่มีมิติ n x n จะพบว่า

                                                                    AIn = InA = A

เราจึงเรียก In ว่าเป็นเอกลักษณ์การคูณของเมตริกซ์ และถ้าสามารถหาเมตริกซ์ B ที่ทำให้

                                                                   AB = BA = In

เราจะเรียก B ว่าเป็น อินเวอร์สการคูณของ A

นิยาม

            ถ้า A เป็นอินเวอร์สที่มีมิติ  n x n ถ้ามีเมตริกซ์ B ซึ่งทำให้ AB = BA = In แล้วจะกล่าวได้ว่า B เป็นอินเวอร์สของเมตริกซ์ A และเขียนแทนด้วย A-1
นั่นคือ B = A-1 และ AA-1 =A-1A = In

เช่น


การหาอินเวอร์สของเมตริกซ์มิติ 1x1

          กำหนดให้

                 เช่น   



การหาอินเวอร์สของเมตริกซ์มิติ 2x2


          กำหนดให้ a,b,c,d € R



ตัวอย่าง

    จงหาอินเวอร์สของ  

วิธีทำ   


                     Det (B) = (1x4) (3x2)
                                 = 4 – 6
                                 = -2

                                 
                             


ตัวอย่าง

จงหาอินเวอร์สของ 

วิธีทำ                     

             ดังนั้น     ad - bc = 8 - 6 = 2

             จะได้        
                                   
                               



การหาอินเวอร์สของเมตริกซ์มิติ 3x3

ในการหาอินเวอร์สของเมตริกซ์ที่มีมิติ   n x  n  (n  3) โดยทั่วไปมี 2 วิธี

1. การหาอินเวอร์สโดยใช้เมตริกซ์ผูกผัน(Adjoint Matrix)

2. การหาอินเวอร์สโดยใช้การดำเนินงานแบบแถว


1. การหาอินเวอร์สโดยใช้เมตริกซ์ผูกผัน(Adjoint Matrix)


นิยาม

        สำหรับเมตริกซ์ A ที่มีขนาด n x nถ้า cijเป็นโคแฟกเตอร์ในแถวที่ I หลักที่ j ของเมตริกซ์ A โดยที่ i,j=1,2,3,…,n แล้วเมตริกซ์ผูกผันของ A เขียนแทนด้วย  adj.A  =  [Cof.A]t



ทฤษฎีบท

       กำหนดให้ A เป็นเมทริกซ์ n x n  จะได้ว่า   


                                                           หรือ           Adj (A) = [Cij]t


ตัวอย่าง











ตัวอย่าง

   อินเวอร์ของ  

วิธีทำ



2. การหาอินเวอร์สโดยใช้การดำเนินงานแบบแถว


           สำหรับเมตริกซ์ A ที่มีขนาด nxn การหาอินเวอร์สของเมตริกซ์ A สามารถทาได้โดยเติม เมตริกซ์เอกลักษณ์ขนาด nxn เข้ากับเมตริกซ์ A ซึ่งสามารถเขียนแทนได้ด้วยเมตริกซ์ [A: I] เมตริกซ์ ดังกล่าวเรียกว่าเป็นเมตริกซ์แต่งเติม (Augumented Matrix) จากนั้นจะใช้การดำเนินงานแบบแถวในการที่จะเปลี่ยนเมตริกซ์ [A: I] ให้เป็นเมตริกซ์ [I : B] ซึ่งจะได้ว่า B =A-1





การหาคำตอบโดยใช้วิธีการดำเนินงานแบบแถว


               การหาคำตอบของระบบสมาการ AX = B โดยใช้วิธีการดำเนินงานแบบแถวนั้น เริ่มจากการนำเอาเมตริกซ์เดิมเข้าไปในเมตริกซ์ A ในรูปของ [A : B] จากนั้นจะใช้การดำเนินงานแบบแถวเปลี่ยนเมตริกซ์ดังกล่าวให้อยู่ในรูปของ [I : C] และจะได้ว่า X = C


ตัวอย่าง 

จากนั้นจะได้การดำเนินงานแบบแถวดังต่อไปนี้




                           





ตัวอย่าง

จงหาอินเวอร์สการคูณดังต่อไปนี้

วิธีทำ


          


ทฤษฎีบท

กำหนด A และ B  เป็นเมทริกซ์ n x n  ที่สามารถหาอินเวอร์ส จะได้ว่า 








แบบฝึกหัด







           






3.จงหาอินเวอร์สของเมตริกซ์ A ดังต่อไปนี้

 





4.จงหาอินเวอร์สของ 

  กำหนดให้จงหา A-1










อ้างอิง










จัดทำโดย

นางสาวสุวิมล  ภูพิพัฒน์
คณะครุศาสตร์ สาขาวิชาวิทยาศาสตร์
รหัส 533410090336  ปีหมู่ 3