อินเวอร์ส

อินเวอร์ (Inverse)

ความหมายอินเวอร์ (Inverse)

อินเวอร์สของเมตริกซ์ในที่นี้ หมายถึงอินเวอร์สของการคูณของเมตริกซ์ ซึ่งเมตริกซ์ที่จะหาอินเวอร์สได้นั้นจะต้องมีค่ากำหนดไม่เท่ากับศูนย์ อินเวอร์สของเมตริกซ์ A จะใช้สัญญาลักษณ์ A^-1 ทั้งนี้ A A^-1= A^-1A

ถ้า a เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ a # 0 แล้ว จะมีจำนวนจริง

ซึ่งทำให้

ak = ka = 1

เราจะเรียก k ว่าเป็นอินเวอร์สการคูณของ a และเขียน k แทนด้วย a^-1 และเพราะว่า a.1 = 1.a = a ทุก ๆ ค่า a เราเรียก 1 ว่าเป็น เอกลักษณการคูณของจำนวนจริง

ในเรื่องของเมตริกซ์ก็เช่นเดียวกัน ถ้า A เป็นเมตริกซ์ที่มีมิติ n x n จะพบว่า

AI_n = I_nA = A

เราจึงเรียก I_n ว่าเป็นเอกลักษณ์การคูณของเมตริกซ์ และถ้าสามารถหาเมตริกซ์ B ที่ทำให้

AB = BA = I_n

เราจะเรียก B ว่าเป็น อินเวอร์สการคูณของ A

นิยาม

ถ้า A เป็นอินเวอร์สที่มีมิติ n x n ถ้ามีเมตริกซ์ B ซึ่งทำให้ AB = BA = I_nแล้วจะกล่าวได้ว่า B เป็นอินเวอร์สของเมตริกซ์ A และเขียนแทนด้วย A^-1

นั่นคือ B = A^-1 และ AA^-1 =A^-1A = I_n

เช่น

การหาอินเวอร์สของเมตริกซ์มิติ 1x1

กำหนดให้

เช่น

การหาอินเวอร์สของเมตริกซ์มิติ 2x2

กำหนดให้ a,b,c,d € R

ตัวอย่าง

จงหาอินเวอร์สของ

วิธีทำ

Det (B) = (1x4) – (3x2)

= 4 – 6

= -2

ตัวอย่าง

จงหาอินเวอร์สของ

วิธีทำ

ดังนั้น ad - bc = 8 - 6 = 2

จะได้

การหาอินเวอร์สของเมตริกซ์มิติ 3x3

ในการหาอินเวอร์สของเมตริกซ์ที่มีมิติ n x n (n ≥ 3) โดยทั่วไปมี 2 วิธี

1. การหาอินเวอร์สโดยใช้เมตริกซ์ผูกผัน(Adjoint Matrix)

2. การหาอินเวอร์สโดยใช้การดำเนินงานแบบแถว

1. การหาอินเวอร์สโดยใช้เมตริกซ์ผูกผัน(Adjoint Matrix)

นิยาม

สำหรับเมตริกซ์ A ที่มีขนาด n x nถ้า c_ijเป็นโคแฟกเตอร์ในแถวที่ I หลักที่ j ของเมตริกซ์ A โดยที่ i,j=1,2,3,…,n แล้วเมตริกซ์ผูกผันของ A เขียนแทนด้วย adj.A = [Cof.A]^t

ทฤษฎีบท

กำหนดให้ A เป็นเมทริกซ์ n x n จะได้ว่า

หรือ Adj (A) = [C_ij]^t

ตัวอย่าง

ตัวอย่าง

อินเวอร์ของ

วิธีทำ

2. การหาอินเวอร์สโดยใช้การดำเนินงานแบบแถว

สำหรับเมตริกซ์ A ที่มีขนาด nxn การหาอินเวอร์สของเมตริกซ์ A สามารถทาได้โดยเติม เมตริกซ์เอกลักษณ์ขนาด nxn เข้ากับเมตริกซ์ A ซึ่งสามารถเขียนแทนได้ด้วยเมตริกซ์ [A: I] เมตริกซ์ ดังกล่าวเรียกว่าเป็นเมตริกซ์แต่งเติม (Augumented Matrix) จากนั้นจะใช้การดำเนินงานแบบแถวในการที่จะเปลี่ยนเมตริกซ์ [A: I] ให้เป็นเมตริกซ์ [I : B] ซึ่งจะได้ว่า B =A^-1

การหาคำตอบโดยใช้วิธีการดำเนินงานแบบแถว

การหาคำตอบของระบบสมาการ AX = B โดยใช้วิธีการดำเนินงานแบบแถวนั้น เริ่มจากการนำเอาเมตริกซ์เดิมเข้าไปในเมตริกซ์ A ในรูปของ [A : B] จากนั้นจะใช้การดำเนินงานแบบแถวเปลี่ยนเมตริกซ์ดังกล่าวให้อยู่ในรูปของ [I : C] และจะได้ว่า X = C